He visto muchos ejemplos de como controlar el Arduino remotamente pero requieren configuraciones excesivas y en caso de utilizar ya sea comunicacion ethernet LAN o WLAN en la mayoria de ejemplos solo funciona en una red local o intranet.
Antes había probado una manera sencilla de control utilizando los olvidados Chat IRC y lo implemente en el modulo ESP8266.

La comunicación IRC es sencilla dado que realizo la comunicación es entre clientes, el servidor esta en la red y se encarga automáticamente de direccionamiento los datos valores o específicamente caracteres que envie.

Explicacion de aplicación
1.En esta prueba el modulo ESP8266 realiza la conexion IRC con un servidor IRC, la sala definida utilizando un Nickname.
2. yo utilizando en este caso un Cliente IRC android me conecto al mismo servidor y la misma sala con otro nickname y el modulo retransmite lo recibido por el puerto serial.
3. El Arduino Mega 2560 Solo imprime los caracteres recibidos en el display Oled y realiza la activación de entradas y salidas

Materiales
Arduino Mega 2560
Display Oled 128 x 64 I2c
ESP8266 - 01

Para realizar este proyecto requiere que lean antes lo siguiente:

Arduino y Oled 128 x 64 Terminal serial

Esp8266 como cliente IRC

Nota importante:
En este caso solo es control desde cualquier cliente IRC es decir el ESP8266 solo recibe, en esta prueba aun no esta implementado que el ESP8266 envie mensajes, aunque ya realice la prueba y funciona correctamente.

Prueba en Tiempo Real